Toán lớp 8 - Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
1. Đường trung bình của tam giác
Định lý 1:Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Qua E kẻ đường thẳng // AB cắt BC ở F
Hình thang DEFB có 2 cạnh bên // ( DB // EF) nên DB = EF
DB = AB (gt) \( \Rightarrow \) AD = EF (1)
( vì EF // AB ) (2)
(3).Từ (1),(2) &(3) \( \Rightarrow \)\(\Delta \)ADE = \(\Delta \)EFC (gcg)\( \Rightarrow \)AE= EC \( \Rightarrow \) E là trung điểm của AC.
+ Kéo dài DE
+ Kẻ CF // BD cắt DE tại F
* Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Chứng minh
a) DE // BC
- Qua trung điểm D của AB vẽ đường thẳng a // BC cắt AC tại A'
- Theo định lý 1 : Ta có E' là trung điểm của AC (gt), E cũng là trung điểm của AC vậy E trùng với E'
\( \Rightarrow \)DE \( \equiv \)DE' \( \Rightarrow \) DE // BC
b) DE = \(\frac{1}{2}\)BC
Vẽ EF // AB (F\( \in \) BC )
Theo định lí 1 ta lại có F là trung điểm của BC hay BF = \(\frac{1}{2}\)BC. Hình thang BDEF có 2 cạnh bên BD// EF\( \Rightarrow \) 2 đáy DE = BF
Vậy DE = BF = \(\frac{1}{2}\)BC
Áp dụng luyện tập
Để tính DE = \(\frac{1}{2}\)BC , BC = 2DE
BC= 2 DE= 2.50= 1002. Đường trung bình của hình thang:
* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
C/M:+ Kẻ thêm đường chéo AC.
+ Xét \(\Delta \)ADC có :
E là trung điểm AD (gt)
EI//CD (gt) \( \Rightarrow \) I là trung điểm AC
+ Xét \(\Delta \)ABC ta có :
I là trung điểm AC ( CMT)
IF//AB (gt)\( \Rightarrow \)F là trung điểm của BC
* Định nghĩa:
Đường TB của hình thang là trung điểm nối 2 cạnh bên của hình thang.
* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng một nửa tổng hai đáy.
C/M:- Kẻ AF\( \cap \)DC = {K}
Xét \(\Delta \)ABF & \(\Delta \)KCF có:
(đđ)
BF= CF (gt)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ABF =\(\Delta \)KCF (g.c.g)
(SLT)\( \Rightarrow \)AF = FK & AB = CK
E là trung điểm AD; F là trung điểm AK \( \Rightarrow \)EF là đường TB \(\Delta \)ADK
\( \Rightarrow \)EF//DK hay EF//DC & EF//AB EF =\(\frac{1}{2}DK\)
Vì DK = DC + CK = DC = AB
\( \Rightarrow \) EF = \(\frac{{AB + DC}}{2}\)
?5
\(\frac{{24}}{2} + \frac{x}{2} = 32\) \( \Rightarrow \) \(\frac{x}{2} = \frac{{64}}{2} - \frac{{24}}{2} = 20\)
\(\frac{x}{2} = 20 \Rightarrow x = 40\)