Toán lớp 8 - Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Toán lớp 8 - Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Định lí:


 

\(\left. \begin{array}{l}{\rm{BD  =  2,4}}\\{\rm{ DC  =  4,8}}\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\)

\(\left. \begin{array}{l}\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\\\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\)

Định lí: 
* Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
* Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

Chứng minh:


 

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại E .

\( \Rightarrow \widehat E = {\widehat A_2}\)   ( So le trong )

Có \(\widehat {{A_1}} = {\widehat A_2}\) ( AD là phân giác )

\( \Rightarrow \widehat E = {\widehat A_1}\)

\(\Delta \)BEA cân tại B

\( \Rightarrow \) AB = BE  ( 1)

Có AC // BE

\( \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{EB}}{{AC}}\) (2) (Hệ quả của định lý Talét)

Từ (1)và (2 ) \( \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (điều phải cm)

2. Ví dụ:

a.

Có AD là phân giác của \(\widehat {\rm{A}}\)

⇒ \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{3,5}}{x} = \frac{{4,5}}{{7,2}}\)

⇒ \(x = \frac{{3,5.7,2}}{{4,5}} = 5,6\)
b.

 

Có PQ là phân giác của \(\widehat {\rm{P}}\)

⇒ \(\frac{{QM}}{{QN}} = \frac{{PM}}{{PN}}\) hay \(\frac{{12,5 - x}}{x} = \frac{{6,2}}{{8,7}}\)

⇒ 6,2.x = 8,7(12,5 – x)

⇒ 6,2x + 8,7x = 8,7.12,5

⇒ x = \(\frac{{8,7.12,5}}{{14,9}} \approx 7,3\)