Bài 2: Phương trình mặt phẳng

1. Tích có hướng giữa hai Vectơ

a) Biểu thức tọa độ tích có hướng

Cho hai vectơ  và  , vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a;\vec b} \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được xác định như sau:

b) Tính chất

Vectơ \(\vec n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\)

c) Ứng dụng của tích có hướng

·  Chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:

\(\vec a,\vec b,\vec c\) không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c \ne 0.\) . Suy ra 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\)

\(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng khi và chỉ khi

·  Tính diện tích tam giác và hình bình hành:

Diện tích hình bình hành ABCD: \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

Diện tích tam giác \(\Delta ABC\) : \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác 0 có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của  (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0)\) . Với \(\vec n = (A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

c) Viết phương trình mặt phẳng khi biết Vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó

Mặt phẳng (P) đi qua điểm  nhận vectơ \(\vec n = (A;B;C)\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

e) Một số cách xác định Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

·  Gọi \(\vec n\) là VTPT của mặt phẳng (P), giải sử tồn tại \({\vec u_1}\) và \({\vec u_1}\) sao cho \[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec n \bot \overrightarrow {{u_1}} }\\{\vec n \bot \overrightarrow {{u_2}} }\end{array}} \right\}\] thì \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) là một VTPT của mặt phẳng (P).

·  Mặt phẳng (ABC) có một VTPT \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\)

·  Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):

Gọi: \({\vec n_P}\) là một VTPT của (P), \({\vec n_Q}\) là một VTPT của (Q) khi đó: \({\vec n_P} = {\vec n_Q}.\)

·  Cho đường thẳng AB và mặt phẳng (P): \([\begin{array}{*{20}{c}}{AB \subset (P)}\\{AB//(P)}\end{array}\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {AB} .\)

·  Nếu \((P) \bot (Q)\) thì \({\vec n_P} \bot {\vec n_Q}\)

3. Vị trí tương đối giữa các mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) có một VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = ({A_1};{B_1};{C_1})\) và \(({\alpha _2})\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có một VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = ({A_2};{B_2};{C_2})\)

Khi đó vị trí tương đối giữa  và  được xác định như sau:

·  \(({\alpha _1})//({\alpha _2})\) khi và chỉ khi 

Nếu \({A_2},{B_2},{C_2},{D_2} \ne 0\) : 

·  \({\alpha _1}) \equiv ({\alpha _2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{n_1}} = k.\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} = k.{D_2}}\end{array}} \right.\)

Nếu \({A_2},{B_2},{C_2},{D_2} \ne 0\) thì 

·  \(({\alpha _1}),({\alpha _2})\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \ne k.\overrightarrow {{n_2}} \)

Nếu \({A_2},{B_2},{C_2} \ne 0\) thì \( \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}}\\{\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}}\\{\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}}\end{array}\)

4. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\;\;({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0)\) và điểm \(M\left( {x\_0,y\_0,z\_0} \right)\)

Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức:  \(d(M;(P)) = \frac{{\left| {A{x_0} + A{y_0} + A{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng  và 
 có VTPT lần lượt là:

\({\vec n_P} = ({A_1};{B_1};{C_1})\)  và \({\vec n_Q} = ({A_2};{B_2};{C_2})\)

Chú ý: 

·  \({0^0} \le (\widehat {P,Q}) \le {90^0}\)

·  \((P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_P}.{\vec n_Q}\) \(\Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)