Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị
3. Quy tắc tìm cực trị
a) Quy tắc 1
· Tìm tập xác định.
· Tính f′(x). Tìm các điểm tại đó f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
· Lập bảng biến thiên.
· Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b) Quy tắc 2
II. CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f’\left( x \right)\) không xác định tại \({x_0}\) và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f’\left( x \right)\) không xác định tại và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính \(y’\)
+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó \(y’ = 0\) hoặc \(y’\) không xác định)
+) lập bảng xét dấu \(y’\) dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số \(y’\) có đạo hàm đến cấp 2 tại \({x_0}\) .
+) \({x_0}\) là điểm cđ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)
+) \({x_0}\) là điểm cđ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = 0\\f\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)
*) Quy tắc 2:
+) tính \(f’\left( x \right),f\left( x \right)\).
+) giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm.
+) thay nghiệm vừa tìm vào \(f\left( x \right)\) và kiểm tra. từ đó suy kết luận.
Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đạo hàm \(y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\)
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)
2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu \( \Leftrightarrow y’ = 0\) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta \le 0\)
3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: \(y = \left( {mx + n} \right)y’ + \left( {Ax + B} \right)\). Phần dư trong phép chia này là \(y = Ax + B\) chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương
Cho hàm số: có đạo hàm \(y’ = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\)
1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi .
+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b \ge 0\end{array} \right.\) hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
+) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b \le 0\end{array} \right.\) hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
2. hàm số có 3 cực trị khi (a và b trái dấu).
+) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b < 0\end{array} \right.\) hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b > 0\end{array} \right.\) hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và \(A \in Oy\), \(A\left( {0;c} \right),B\left( {{x_B},{y_B}} \right),C\left( {{x_C},{y_C}} \right),H\left( {0;{y_B}} \right)\).
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và \({x_B} = – {x_C},{y_B} = {y_C} = {y_H}\)
+) Để tam giác ABC vuông tại A: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
+) Tam giác ABC đều:
+) Tam giác ABC có diện tích S: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\left| {{x_B} – {x_C}} \right|.\left| {{y_A} – {y_B}} \right|\)
4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số \(y = {x^4} – 2b{x^2} + c\)
+) Hàm số có 3 cực trị khi
+) A, B, C là các điểm cực trị
\(A\left( {0;c} \right),B\left( {\sqrt b ,c – {b^2}} \right),C\left( { – \sqrt b ;c – {b^2}} \right)\)
+) Tam giác ABC vuông tại A khi \(b = 1\)
+) Tam giác ABC đều khi \(b = \sqrt[3]{3}\)
+) Tam giác ABC có khi \(b = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}\)
+) Tam giác ABC có diện tích khi \({S_0} = {b^2}\sqrt b \)
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp khi \(2{R_0} = \frac{{{b^3} + 1}}{b}\)
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp khi \({r_0} = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {{b^3} + 1} + 1}}\)