Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

· Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng: x=a,x=b là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)

· Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a,x=b là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} \)

Chú ý:

· Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d).

Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) +(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

– Hai đường thẳng x = c, x = d.

2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a,b là

\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x∈[a;b] và S(x) là một hàm liên tục.

3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

· Hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên [a,b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\)

· Cho hai hàm số y=f(x), y=g(x) thỏa \(0 \le g(x) \le f(x)\) , liên tục và không âm trên [a,b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a,x=b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức

Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x)quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:

Giải phương trình \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\) Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).

Giả sử \(0 \le g(x) \le f(x)\) ới mọi x thuộc [a,b]. Khi đó:

· Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x=g(y), trục tung và hai đường thẳng y=c,y=d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy} .\)