Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K:
· Nếu f(x) đồng biến trên K thì f′(x)≥0 với mọi x∈ K.
· Nếu f(x)
nghịch biến trên K thì f′(x)≤0 với mọi x∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K:
· Nếu f′(x)≥0 với mọi x∈ K và f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x) đồng biến trên K
· Nếu f′(x)≤0 với mọi x∈ K và f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.
· Nếu f′(x)=0 với mọi x∈ K thì f(x) là hàm hằng trên K.
4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
· Bước 1: Tìm tập xác định
· Bước 2: Tính đạo hàm f′(x)=0. Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
· Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
· Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)
+) \(f’\left( x \right) > 0\) ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+) \(f’\left( x \right) < 0\) ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính \(f’\left( x \right)\), giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm.
+) Lập bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\).
+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số .\(y = f\left( {x,m} \right)\). đơn điệu trên khoảng (a,b)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {a,b} \right)\).
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f’\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {a,b} \right)\)
Riêng hàm số: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\). Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì \(y’ > 0\forall x \in D\)
+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì \(y’ > 0\forall x \in D\)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} y’ > 0\forall x \in \left( {a,b} \right)\\ x \ne – \frac{d}{c} \end{array} \right.\)
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y’ < 0\forall x \in \left( {a,b} \right)\\x \ne – \frac{d}{c}\end{array} \right.\)
*) Tìm m để hàm số bậc 3 \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đơn điệu trên R
+) Tính \(y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\) là tam thức bậc 2 có biệt thức .
+) Để hàm số đồng biến trên R \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
+) Để hàm số nghịch biến trên R \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > a\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
Chú ý: Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
+) Khi \(a > 0\) để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = k\).
+) Khi \(a < 0\) để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k \( \Leftrightarrow y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = k\).