BÀI 1: LŨY THỪA

Định nghĩa luỹ thừa

Số mũ a	Cơ số a	Luỹ thừa
\(\alpha = n \in {N^}\)*	\(a \in R\)	\(\alpha = n \in {N^}\) (n thừa số a)*
\(\alpha = 0\)	\(a \ne 0\)	\({a^\alpha } = {a^0} = 1\)
\(\alpha = - n\,(\,n \in {N^*})\)	\(a \ne 0\)	\({a^\alpha } = {a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\(\alpha = \frac{m}{n}\,(m \in Z,\,n \in {N^*})\)	\(a > 0\)	\({a^\alpha } = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\;(\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow {b^n} = a)\)
\(\alpha = \lim \,{r_n}\;({r_n} \in Q,\,n \in {N^*})\)	\(a > 0\)	\({a^\alpha } = \lim {a^{{r_n}}}\)

Tính chất của luỹ thừa

Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

\({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\quad ;\quad \frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\quad ;\quad {({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;;\quad {(ab)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\quad ;\quad {\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)

a > 1 : \({a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha > \beta \); 0 < a < 1 : \({a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha < \beta \)
Với 0 < a < b ta có:

\({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

Định nghĩa và tính chất của căn thức

Căn bậc n của a là số b sao cho \({b^n} = a\).
Với a, b \( \ge \) 0, \(m,n \in {N^*}\), \(p,q \in Z\) ta có:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\); \(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\); \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}(a > 0)\); \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)

Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\,\,\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,\,(a > 0)\) ; Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\)

Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\).
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\).

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu \(\sqrt[n]{a}\).

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.