Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: \({a^M} = {a^N} \Leftrightarrow (a – 1)(M – N) = 0\)

b) Logarit hoá: \[{a^{f(x)}} = {b^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = \left( {{{\log }_a}b} \right).g(x)\,\]

c) Đặt ẩn phụ:

· Dạng 2: \(\alpha {a^{2f(x)}} + \beta {(ab)^{f(x)}} + \gamma {b^{2f(x)}} = 0\)

Chia 2 vế cho \({b^{2f(x)}}\), rồi đặt ẩn phụ \(t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}}\)

· Dạng 3: \({a^{f(x)}} + {b^{f(x)}} = m\), với \(ab = 1\). Đặt \(t = {a^{f(x)}} \Rightarrow {b^{f(x)}} = \frac{1}{t}\)

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

· Đoán nhận x₀ là một nghiệm của (1).

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x₀ là nghiệm duy nhất:

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v\)

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: \(\left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\, \ge \,\,\,M\\g(x)\,\,\, \le \,\,\,M\end{array} \right.\) thì (1) \( \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\, = \,\,M\\g(x)\,\, = \,\,\,M\end{array} \right.\)

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

· Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

· Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

o Xem ẩn ban đầu là tham số.

o Đưa về phương trình tích.

· Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

o Đưa về phương trình tích

o Xem 1 ẩn là tham số

o Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

· Xét hai hàm số f(x) và g(x)

Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì f(x) + g(x) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.

Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số đồng biến trên tập D và f(x).g(x)>0 thì f(x).g(x) là hàm số đồng biến trên tập D.

Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D:

+ f(x)−g(x) đồng biến trên D.

+ f(x)−g(x) nghịch biến trên D.

· Nếu hàm số f(x) đồng biến trên D và g(x) nghịch biến trên D thì phương trình f(x)=g(x) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

· Xét phương trình f(x)=m: Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.