Bài 2: Tích phân

Bài 2: Tích phân

Bài 2: Tích phân

1. Định nghĩa

Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\)

Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:


 

2.   Tính chất của tích phân

Cho các hàm số f(x),g(x)  liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.

·   \({\mkern 1mu} \int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \)

·   \(\int\limits_a^b {f(x)dx = {\rm{ n}}\int\limits_b^a {f(x)dx} } \)

·   \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx}  + \int\limits_c^b {f(x)dx} } \)

·   \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \)

·   \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx}  \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

3.   Một số phương pháp tính tích phân

4.   a) Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} } .\) trong đó f(x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J; a,b ∈J.

Các phương pháp đổi biến số thường gặp:

·   Cách 1:Đặt u=u(x) (u là một hàm theo x).

·   Cách 2: Đặt x=x(t)(x là một hàm theo t).

b) Phương pháp tích phân từng phần

Định lí:

Nếu u(x),v(x)  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng và a,b là hai số thuộc K thì:

\(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx}  = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b{\rm{ n}}\int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} .\)