BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Tọa độ của điểm và của vectơ

a) Hệ tọa độ


 

Trong không gian, cho ba trục xOx’, yOy’, zOz’ vuông góc với nhau từng đôi một.

Các vectơ \(\vec i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec j,{\mkern 1mu} \vec k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx’, yOy’, zOz’ với: 

Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec u\) tồn tại duy nhất bộ số (x,y,z) sao cho: \(\vec u = (x;y;z)\)

\( \Leftrightarrow \vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k.\)

Bộ số: (x,y,z) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec u\)

c) Tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số   sao cho: \(A({x_A},{y_A},{z_A}) \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} = ({x_A};{y_A};{z_A}).\)

Bộ số  được gọi là tọa độ điểm A.

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\vec u = (x;y;z)\) và 


 
  •   cùng phương 

Cho hai điểm 

  • \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\)
  • \(AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)
  • \(\overrightarrow {IA} = k.\overrightarrow {IB} (k \ne 1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} - k.{x_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} - k.{y_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} - k.{z_B}}}{{1 - k}}}\end{array}} \right.\)
  • Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}}\end{array}} \right.\)
  • G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}}\\{}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}}\\{}\\{{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}}\end{array}} \right.\)

​3. Tích vô hướng
 

  • Công thức tính tích vô hướng: \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.cos(\vec a,\vec b)\)
  • Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})}\\{\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})}\end{array}} \right\}\vec a.\vec b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}\]
  • Công thức tính góc giữa hai vectơ:  \(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)

4. Phương trình mặt cầu

  • Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:  \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}.\)
  • Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\) điều kiện \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0\)

Khi đó, mặt cầu có tâm I (A; B; C), bán kính