BÀI 2: MẶT CẦU

BÀI 2: MẶT CẦU

Bài 2: Mặt cầu

1.   Mặt cầu – Khối cầu:

2.   Định nghĩa

·  Mặt cầu: S(O;R)= {M|OM=R}           · Khối cầu:   V(O;R)={M|OM \leq R}

2.   Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng


 

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).

  • Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính 
  • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) được gọi là tiếp diện của (S))
  • Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn.

3.   Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).

  • Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
  • Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (D được gọi là tiếp tuyến của (S)).
  • Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.

4.   Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp

 

Mặt cầu ngoại tiếp

Mặt cầu nội tiếp

Hình đa diện

Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ

Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón

Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

5.   Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

·  Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.

·  Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

6. Công thức tính toán liên quan đến mặt cầu, khối cầu

·  Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R: 

·  Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: