BÀI 2: MẶT CẦU
Bài 2: Mặt cầu
1. Mặt cầu – Khối cầu:
2. Định nghĩa
· Mặt cầu: S(O;R)= {M|OM=R} · Khối cầu: V(O;R)={M|OM R}
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
- Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính
- Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) được gọi là tiếp diện của (S))
- Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
- Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (D được gọi là tiếp tuyến của (S)).
- Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
|
Mặt cầu ngoại tiếp |
Mặt cầu nội tiếp |
Hình đa diện |
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu |
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu |
Hình trụ |
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu |
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ |
Hình nón |
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón |
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón |
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
6. Công thức tính toán liên quan đến mặt cầu, khối cầu
· Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R:
· Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: