Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, đường thẳng  đi qua  và nhận vectơ  làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số (với t  R) là:

Nếu  thì ta có phương trình   

Hay   được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 

b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng

·  Nếu   \(\overrightarrow {{u_1}} \) là 1 VTCP của  thì \(\overrightarrow {{u_1}} \) là 1 VTCP của 

·  Nếu  , \(\overrightarrow {{u_1}} \) là 1 VTCP của , \(\overrightarrow {{u_2}} \) là 1 VTCP của  thì \[\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0.\]

·  Nếu đường thẳng  có VTCP \(\overrightarrow {{u}} \) tồn tại hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) sao cho \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec u \bot \overrightarrow {{u_1}} }\\{\vec u \bot \overrightarrow {{u_2}} }\end{array}} \right.\) thì \(\vec u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) là một VTCP của 

·  Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P) sao cho: \([\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \subset (P)}\\{\Delta //(P)}\end{array}\). Gọi \(\vec u\) là một VTCP   , \(\overrightarrow {{n_P}} \)  là VTPT của (P) thì \(\vec u.\overrightarrow {{n_P}} = 0.\)

·  Nếu \(A,B \in \Delta \) thì  \(\overrightarrow {AB} \) là một VTCP của 

2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng:  đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) ,  đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \)

Khi đó Vị trí tương đối giữa  và  được xác định như sau:

·   và  chéo  nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}.{M_2}} \ne 0\)

·   và  cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}.{M_2}} = 0}\\{\overrightarrow {{u_1}} \ne k.\overrightarrow {{u_2}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

·   song song   \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_1}} = k.\overrightarrow {{u_2}} }\\{{M_1} \in {\Delta _1},{M_1} \notin {\Delta _2}}\end{array}} \right.\)

·  \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_1}} = k.\overrightarrow {{u_2}} }\\{{M_1} \in {\Delta _1},{M_1} \in {\Delta _2}}\end{array}} \right.\)

3. Góc giữa hai đường thẳng

·  Trong không gian cho hai đường thẳng  có một VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1};{b_1};{c_1})\)  có một VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2};{b_2};{c_2})\) , khi đó:

\(cos({\Delta _1};{\Delta _2}) = \left| {cos(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\) \( = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\)

·  Nhận xét:

\({0^0} \le ({\Delta _1};{\Delta _2}) \le {90^0}\)

\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng  có một VTCP \(\vec u = (a;b;c)\) , mặt phẳng (P) có một VTPT \(\vec n = (A;B;C)\)

5. Các công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng  đi qua N và có một VTCP \(\vec u\) . Khi đó khoảng cách từ M đến  xác định bởi công thức: \(d(M;\Delta ) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {NM} ;\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}}\)

b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng . Khi đó:

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng  đi qua M_{1 có một} VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) ,  đi qua M₂ có một VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \) . Khi đó:

\(d({\Delta _1};{\Delta _2}) = \frac{{\left| {[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ]}}\)

Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung  ,  với 
 suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array}} \right.\)

Khi đó: