Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên D.

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}M \ge f{\left( x \right)_{}}\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.\). Kí hiệu: \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)

+) m là GTNN của hàm số trên D nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}m \le f{\left( x \right)_{}}\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.\). Kí hiệu: \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)

+) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình \(f\left( x \right) – m = 0\& f\left( x \right) – M = 0\) có nghiệm trên D.

2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:

  a) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

– Tính \(f’\left( x \right)\), giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên D.

– Lập BBT cho hàm số trên D.

– Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

 b) Quy tắc riêng: (Dùng cho \(\left[ {a;b} \right]\)) . Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

–  Tính \(f’\left( x \right)\), giải phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên .

– Giả sử phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right]\).

– Tính 4 giá trị \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)\). So sánh chúng và kết luận.

Chú ý:

1.     GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.

2.    Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a,b} \right]\) thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3.    Nếu hàm sồ \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a,b} \right]\) thì \(\max f\left( x \right) = f\left( b \right),\min f\left( x \right) = f\left( a \right)\)

4.    Nếu hàm sồ nghịch biến  trên \(\left[ {a,b} \right]\) thì \(\max f\left( x \right) = f\left( a \right),\min f\left( x \right) = f\left( b \right)\)

5.    Cho phương trình \(f\left( x \right) = m\) với \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)