Bài 1: Dao động điều hòa

I. Dao động cơ :

   1. Thế nào là dao động cơ :

   Chuyển động qua lại  quanh một vị trí đặc biệt, gọi là vị trí cân bằng.

   2. Dao động tuần hoàn :

   Sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ.

II. Phương trình của dao động điều hòa :

1. Định nghĩa:

Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin ( hay sin) của thời gian

2. Phương trình :

     x = Acos( wt + j )

•  A là biên độ dao động ( A>0), A phụ thuộc năng lượng cung cấp cho hệ ban dầu, cách kích thích
• ( wt + j ) là pha của dao động tại thời điểm t
• j là pha ban đầu, phụ tuộc cách chọn gốc thời gian,gốc tọa độ, chiều dương

III. Chu kỳ, tần số và tần số góc của dao động điều hòa :

1. Chu kỳ, tần số :

• Chu kỳ T : Khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần – đơn vị giây (s)
• Tần số f : Số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây – đơn vị Héc (Hz)

2. Tần số góc :

   \[\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f\]; \[f = \frac{1}{T}\](w, T, f chỉ phụ tuộc đặc tính của hệ)

IV. Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa :

1. Vận tốc:

v = x’ = -wAsin(wt + j ) =  w.Acos(w.t + j + p/2)

Ở vị trí biên : x = ± A => v = 0

Ở vị trí cân bằng : x = 0 => v_max = Aw

Liên hệ v và x : \[{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\]                   Liên hệ v và a : \[\frac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\]

2. Gia tốc: 

a = v’ = x”= -w²Acos(wt + j ) = \[{\omega ^2}A\cos (\omega t + \phi  + \pi )\]

Ở vị trí biên : \[{\left| a \right|_{\max }} = {\omega ^2}A\]

Ở vị trí cân bằng a = 0

Liên hệ a và x : a = - w²x

V. Đồ thị của dao động điều hòa :

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của x vào t là một đường hình sin.

VI. Liên hệ giữa d đ đ h và chuyển động tròn đều:

Một điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng có thể coi là hình chiếu của  một điểm tương ứng chuển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.

VII: Độ lệch pha của x,v,a: 

Lưu ý : Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t₀ tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và ngược lại. (hoặc dùng vòng tròn lượng giác biết ngay là tại thời điểm t đại lượng nào đó đang tăng hoặc giảm.Góc phi > 0 ứng với nửa đường tròn phía trên, đại lượng đó đang giảm và ngược lại)                                                                                  

Các dạng bài tập:

1. Dao động có phương trình đặc biệt:

• x = a ± Acos(wt + j) với a = const

Biên độ là A, tần số góc là w, pha ban đầu j

x là toạ độ,  x₀ = Acos(wt + j) là li độ.

Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A

Vận tốc v = x’ = x₀’, gia tốc a = v’ = x” = x₀”

Hệ thức độc lập:   a = -w²x₀

\({A^2} = x_0^2 + {(\frac{v}{\omega })^2}\)

• x = a ± Acos²(wt + j) (ta hạ bậc)

Biên độ A/2; tần số góc 2w, pha ban đầu 2j.

Chuyển đổi công thức:

• cosα   = cos(α- p)= cos(α +p)

sin α    = cos(α-p/2)

• sin α  = cos(α+p/2)          

cos²α =\[\frac{{1 + c{\rm{os2}}\alpha }}{2}\]

  sin²α =\[\frac{{1 - c{\rm{os2}}\alpha }}{2}\]

  cosa + cosb = 2cos\[\frac{{a + b}}{2}\] cos\[\frac{{a - b}}{2}\].          

2. Chiều dài quỹ đạo: 2A

3. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A

    Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại

• Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:

4. Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà:

• Tính w

• Tính A

• Tính j dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t₀ (thường t₀ = 0)\(\left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{Acos}}(\omega {t_0} + \varphi )\\v =  - \omega A{\rm{sin}}(\omega {t_0} + \varphi )\end{array} \right. \Rightarrow \varphi \)

Lưu ý:

• Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0 (j<0), ngược lại v < 0 (j>0)

• Trước khi tính j cần xác định rõ j thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường lấy -π < j ≤ π)

5. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x₁ đến x₂ : viết phương trình chuyển động chọn gốc thời  gian lúc

 x = x­₁, v>0 , thay x= x₂, v>0 tìm t

6. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t­₁ đến t₂.  

Phân tích: t₂ – t₁ = nT + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T)

Quãng đường đi được trong thời gian nT là S₁ = 4nA, trong thời gian Dt là S₂.

Quãng đường tổng cộng là S = S₁ + S₂

Tính S₂ bằng cách định vị trí x₁, x₂ và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

Xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\rm{Aco}}{\mathop{\rm s}\nolimits} (\omega {t_1} + \varphi )\\{v_1} =  - \omega A{\rm{sin}}(\omega {t_1} + \varphi )\end{array} \right.v\`a \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {\rm{Aco}}{\mathop{\rm s}\nolimits} (\omega {t_2} + \varphi )\\{v_2} =  - \omega A{\rm{sin}}(\omega {t_2} + \varphi )\end{array} \right.\) (v₁ và v₂ chỉ cần xác định dấu)

Lưu ý:

• Nếu  Dt = T/2 thì S₂ = 2A

• Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t₁ đến t₂: \({v_{tb}} = \frac{S}{{{t_2} - {t_1}}}\) với S là quãng đường tính như trên.

7. Tính thời gian đi được quãng đường S và thời gian vật đi từ li độ  x₁ đến x₂ cũng tương tự:

Phân tích  :S = n4A + DS

• Thời gian đi được quãng đường n.4A là t=n.T

• Nếu  DS= 2A thì t’=T/2

• Nếu  DS lẻ thì tìm thời gian vật đi từ li độ x₁ đến x_{2 là} t’

• Toàn bộ thời gian là: t+t’

8. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W_t, W_đ, F) lần thứ n

• Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 Þ phạm vi giá trị của k )

• Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)

• Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n

Lưu ý:

• Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
• Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động    tròn đều

9. Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W_t, W_đ, F) từ thời điểm t₁ đến t₂.

• Giải phương trình lượng giác được các nghiệm

• Từ t₁ < t ≤ t₂ Þ Phạm vi giá trị của (Với k Î Z)

• Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.

Lưu ý: 

• Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.

• Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.

10. Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Dt. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x₀.

• Viết lại phương trình chuyển động, chọn gốc thời gian là x = x₀. v>o (hoặc v<0 tùy theo đề)
• Thế t=∆t tìm được đại lượng cần

11.Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Dt < T/2.

Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.

Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển  đường tròn đều.

Góc quét Dj = wDt. 

Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M₁ đến M₂ đối xứng qua trục sin (hình 1)

\({S_{M{\rm{ax}}}} = 2{\rm{A}}\sin \frac{{\Delta \varphi }}{2}\)

 Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M₁ đến M₂ đối xứng qua trục cos (hình 2)

\({S_{Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\frac{{\Delta \varphi }}{2})\)

  Lưu ý:

• Trong trường hợp Dt > T/2

      Tách \(\Delta t = n\frac{T}{2} + \Delta t'\)

      trong đó \(n \in {N^*};0 < \Delta t' < \frac{T}{2}\)

• Trong thời gian \(n\frac{T}{2}\) quãng đường luôn là 2nA
• Trong thời gian Dt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. 
• Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Dt:

\({v_{tbM{\rm{ax}}}} = \frac{{{S_{M{\rm{ax}}}}}}{{\Delta t}}\) và \({v_{tbMin}} = \frac{{{S_{Min}}}}{{\Delta t}}\) với S_Max; S_Min tính như trên.

12. Đo chu kỳ bằng phương pháp trùng phùng

Để xác định chu kỳ T của một con lắc lò xo (con lắc đơn) người ta so sánh với chu kỳ T₀ (đã biết) của một con lắc khác (T » T₀).

Hai con lắc gọi là trùng phùng khi chúng đồng thời đi qua một vị trí xác định theo cùng một chiều.

Thời gian giữa hai lần trùng phùng \(\theta  = \frac{{T{T_0}}}{{\left| {T - {T_0}} \right|}}\)

• Nếu T > T₀ Þ q = (n+1)T = nT₀.

• Nếu T < T₀ Þ q = nT = (n+1)T₀. với n Î N*