Bài 3: Con lắc đơn

Bài 3. CON LẮC ĐƠN

I. Thế nào là con lắc đơn :

   Gồm một vật nhỏ khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể.

II. Khảo sát dao động con lắc đơn về mặt động lực học :

-    Lực thành phần P_t là lực kéo về : P_t = - mgsina 

-          Nếu góc a nhỏ ( a < 10⁰ ) thì : \[{P_t} =  - mg\alpha  =  - mg\frac{s}{l}\]

Khi dao động nhỏ, con lắc đơn dao động điều hòa. với chu kỳ : \[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

                                                                                                      \[\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}} \]

3. Phương trình dao động:

   s = S₀cos(wt + j) hoặc α = α₀cos(wt + j)  với s = αl, S₀ = α₀l

   => v = s’ = -wS₀sin(wt + j) = -wlα₀sin(wt + j)

   => a = v’ = -w²S₀cos(wt + j) = -w²lα₀cos(wt + j) = -w²s = -w²αl

   Lưu ý: S₀ đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x

    + Nếu \(\overrightarrow F \) hướng lên thì      \[g' = g - \frac{F}{m}\]

III. Khảo sát dao động con lắc đơn về mặt năng lượng :( dùng cho con lắn ban đầu được thả v=0)

   4. Vận tốc : \[v = \sqrt {2gl(\cos \alpha  - \cos {\alpha _0})} \]

   5. Lực căng dây : \[T = mg(3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0})\]

IV. Ứng dụng : Đo gia tốc rơi tự do

Các dạng toán:

1. Hệ thức độc lập(v₀ có thể khác 0 hoặc bằng 0)

   * a = -w²s = -w²αl

   * \[S_0^2 = {s^2} + {(\frac{v}{\omega })^2}\]

   * \[\alpha _0^2 = {\alpha ^2} + \frac{{{v^2}}}{{gl}}\]

2. Cơ năng:\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 = \frac{1}{2}\frac{{mg}}{l}S_0^2 = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{l^2}\alpha _0^2\]

3. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l₁ có chu kỳ T₁, con lắc đơn chiều dài l₂ có chu kỳ T₂, con lắc đơn chiều dài l₁ + l₂ có chu kỳ T₂,con lắc đơn chiều dài l₁ - l₂ (l₁>l₂) có chu kỳ T₄.

Thì ta có: \(T_3^2 = T_1^2 + T_2^2\) và \(T_4^2 = T_1^2 - T_2^2\)

4. Khi con lắc đơn dao động với a₀ bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc đơn

   W = mgl(1-cosa₀); v² = 2gl(cosα – cosα₀) và T_C = mg(3cosα – 2cosα₀)

     Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi a₀ có giá trị lớn

        - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (a₀ << 1rad) thì:

            \[{\rm{W = }}\frac{1}{2}mgl\alpha _0^2;{\rm{ }}{v^2} = gl(\alpha _0^2 - {\alpha ^2})\] (đã có ở trên)

            \({T_C} = mg(1 - 1,5{\alpha ^2} + \alpha _0^2)\)

5. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ cao h₁, nhiệt độ t₁. Khi đưa tới độ cao h₂, nhiệt độ t₂ thì ta có:

6 \(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{\Delta h}}{R} + \frac{{\lambda \Delta t}}{2}\)

   Với R = 6400km là bán kính Trái Đât, còn l là hệ số nở dài của thanh con lắc.

7. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ sâu d₁, nhiệt độ t₁. Khi đưa tới độ sâu d₂, nhiệt độ t₂ thì ta có:

   \(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{\Delta d}}{{2R}} + \frac{{\lambda \Delta t}}{2}\)

   Lưu ý: * Nếu DT > 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn)

            * Nếu DT < 0 thì đồng hồ chạy nhanh

            * Nếu DT = 0 thì đồng hồ chạy đúng

            * Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): \(\theta  = \frac{{\left| {\Delta T} \right|}}{T}86400(s)\)

8. Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi:

      Lực phụ không đổi thường là:

* Lực quán tính: \(\overrightarrow F  =  - m\overrightarrow a \), độ lớn F = ma     ( \(\overrightarrow F  \uparrow  \downarrow \overrightarrow a \))

   Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều \(\overrightarrow a  \uparrow  \uparrow \overrightarrow v \) ( có hướng chuyển động)

       + Chuyển động chậm dần đều \(\overrightarrow a  \uparrow  \downarrow \overrightarrow v \)

* Lực điện trường: \(\overrightarrow F  = q\overrightarrow E \), độ lớn F = |q|E   (Nếu q > 0 Þ \[\overrightarrow F  \uparrow  \uparrow \overrightarrow E \]; còn nếu q < 0 Þ \[\overrightarrow F  \uparrow  \downarrow \overrightarrow E \])

* Lực đẩy Ácsimét: F = DgV  (luông thẳng đứng hướng lên)

   Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí.

            g là gia tốc rơi tự do.

            V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó.

      Khi đó: \(\overrightarrow {P'}  = \overrightarrow P  + \overrightarrow F \) gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai trò như trọng lực )

           \(\overrightarrow {g'}  = \overrightarrow g  + \frac{{\overrightarrow F }}{m}\) gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu kiến.

           Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: \(T' = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g'}}} \)

     Các trường hợp đặc biệt:

   * \(\overrightarrow F \) có phương ngang: + Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc có: \[\tan \alpha  = \frac{F}{P}\]

                                       + \(g' = \sqrt {{g^2} + {{(\frac{F}{m})}^2}} \)

   * \(\overrightarrow F \)có phương thẳng đứng hướng lên thì \[g' = g - \frac{F}{m}\]

    * Nếu \(\overrightarrow F \) hướng xuống thì \[g' = g + \frac{F}{m}\]

( chú ý :g tăng khi thang máy lên nhanh , xuống chậm)