Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn
· Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:
f(x) = g(x) (1)
trong đó f(x), g(x) là những biểu thức của x.
· x0 Î R đgl nghiệm của (1) nếu f(x0) = g(x0) đúng.
· Giải (1) là tìm tập nghiệm S của (1).
· Nếu (1) vô nghiệm thì S = Æ.
2. Điều kiện của một phương trình
Điều kiện xác định của (1) là điều kiện của ẩn x để f(x) và g(x) có nghĩa.
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của các phương trình sau:
(Nêu đk xác định của từng biểu thức)
Trả lời.
a) 2 – x > 0 Û x < 2
3. Phương trình nhiều ẩn
Dạng f(x,y) = g(x,y), …
Ví dụ 1. a) 2x + y = 5 Nghiệm (2; 1), (1; 3), …
b) x + y – z = 7 Nghiệm (3; 4; 0), (2; 4; –1), …
Nhận xét: Mỗi nghiệm là một bộ số của các ẩn.
Thông thường phương trình có vô số nghiệm.
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
Ví dụ 1: (m + 1)x – 3 = 0
có nghiệm khi m ≠ –1
Ví dụ 2: x2 – 2x + m = 0
có nghiệm khi D¢ = 1–m ≥0
Û m ≤ 1
II. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình đgl tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm
Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương.
Đáp án: Tương đương, vì cùng tập nghiệm S = {3}
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoạc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu Û để chỉ sự tương đương của các phương trình.
· Xét các phép biến đổi sau:
Nhận xét: sai vì ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 1
b) x(x – 3) = 2x Û x – 3 = 2
Û x = 5
Nhận xét: sai vì đã chia 2 vế cho x = 0