Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Ôn tập về phương trình bậc nhất, bậc hai

1. Phương trình bậc nhất

· Khi a ≠ 0 pt (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

3. Định lí Viet

Nếu phương trình bậc hai:

          ax² + bx + c = 0 (a≠0)

có hai nghiệm x₁, x₂ thì:

Ngược lại, nếu hai số u, v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0

VD3. Chứng tỏ pt sau có 2 nghiệm x₁, x₂ và tính x₁ + x₂, x₁x₂ : x² – 3x + 1 = 0

Giải: D = 5 > 0 Þ pt có 2 nghiệm phân biệt

          x₁ + x₂ = 3,  x₁x₂ = 1

VD4. Pt  2x² – 3x – 1 = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂ . Tính x₁² + x₂² ?

II. Phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai

1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

B1: ĐKXĐ: Q(x) ≠ 0

B2: Giải phương trình

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ để chọn nghiệm thích hợp.

VD1. Giải phương trình:

 Nêu ĐKXĐ của (1)

 Biến đổi phương trình (1)

2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối:

– Dùng định nghĩa;

– Bình phương 2 vế.

· Chú ý: Khi bình phương 2 vế của phương trình để được pt tương đương thì cả 2 vế đều phải không âm.

 
Giải

C1:

+ Nếu x ≥ 3 thì (2) trở thành:

x – 3 = 2x + 1 Þ x = –4 (loại)

+ Nếu x < 3 thì (2) trở thành:

C2:

(2)     Þ (x – 3)² = (2x + 1)²

          Þ 3x² + 10x – 8 = 0

Thử lại: x = –4 (loại),

VD3. Giải phương trình:

 Ta nên dùng cách giải nào?

· Chú ý a² – b² = (a – b)(a + b)

Giải

Bình phương 2 vế:

(3) Û (2x – 1)² = (x + 2)²

          Û (x – 3)(3x + 1) = 0

3. Phương trình trùng phương

Dạng ax⁴ + bx + c = 0 (a≠0)                                (1)

· Nếu (1) có nghiệm x₀ thì –x₀ cũng là nghiệm của (1).

· Điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt là (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

VD 1. Giải các phương trình:

a) x⁴ – 3x² + 2 = 0

b) x⁴ –2x – 3 = 0

Giải

 Đặt ẩn phụ t = x² (t ≥ 0), đưa về pt bậc hai trung gian:

          at² + bt + c = 0