Bài 2: Giới hạn của hàm số
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn \( \in \)K và xn \( \ne \)a ,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L{\rm{ }},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = M\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right]}} = \frac{L}{M}{\rm{ , M}} \ne {\rm{0}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]} = \sqrt L {\rm{ ; }}f\left( x \right) \ge 0,L \ge 0\)
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)\( \le \)f(x)\( \le \)h(x) \(\forall x \in K,x \ne a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {h\left( x \right)} \right] = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]=\(\infty \) thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: ...
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = \(\infty \) đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\). Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{ }}\left( {\frac{{\rm{0}}}{{\rm{0}}}} \right)\)
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{ }}\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu \(x \to + \infty \) thì coi như x>0, nếu \(x \to - \infty \) thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{ }}\left( {{\rm{0}}{\rm{.}}\infty } \right)\). Ta biến đổi về dạng: \(\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)
4. Giới hạn của hàm số dạng: ..
o Đưa về dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} }}\)
C. CÁC VÍ DỤ
1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3\left( { - 2} \right) + 2}}{{\left( { - 2} \right) - 2}} = - \frac{{12}}{4} = - 3\)
2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 2 - 1 = 1\).Chia tử và mẫu cho (x-2).
3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{\sqrt {3x} - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {3x} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {3x} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {3x} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 1 - 4} \right)\left( {\sqrt {3x} + 3} \right)}}{{\left( {3x - {3^2}} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {3x} + 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {3x} + 3} \right)}}{{3\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {3.3} + 3} \right)}}{{3\left( {\sqrt {3 + 1} + 2} \right)}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\)
4. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}} = \infty \) (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}} = - \infty \end{array} \right.\)
5. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^3} - {x^2} - 1}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \infty \).
6. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - x + 3}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{2}{1} = 2\)
7. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = 0\)
8. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} = 1\)
9. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = - 1\).
10. Cho hàm số : \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 3{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{1}}} \right)\\\frac{{{\rm{x + a}}}}{{\rm{x}}}{\rm{ }}\left( {{\rm{x > 1}}} \right)\end{array} \right.\). Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} - x + 3} \right) = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + a}}{x} = a + 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right)} \right] = 3 \Leftrightarrow a + 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2\)
11. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 12\). Dạng \(\left( {\frac{0}{0}} \right)\).
12. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} + 2x - 1}}{{2{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{{x^3} + 2x - 1}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{2{x^3} + 1}}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{2 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\). Dạng ...
13. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{2}{{x.\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}}} \right)\left( {3{x^2} - x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2\left( {3{x^2} - x + 1} \right)}}{{x.\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2\left( {3{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x.\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}}}{{{x^2}}}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2\left( {3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}}}} = \frac{6}{1} = 6\)
14. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 3 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}}\)
... Dạng \(\left( {\infty - \infty } \right)\).