Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n \in N*\) là đúng với mọi n mà không thể trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k \ge 1\)(gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh răng nó cũng đúng với n=k+1
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
II. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: chứng minh rằng với \(n \in N*\) thì:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^{2 }} (1)\)
Giải :
Bước 1: khi n=1 , ta có :\(1 = {1^2}\) vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là : \({S_k} = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)(giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, tức là :
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + \left( {2(k + 1) - 1} \right)\\ = {(k + 1)^2}\end{array}\)
Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có :
\({S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {2(k + 1) - 1} \right) = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\)
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi \(n \in N*\)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với \(n \in N*\) thì \(\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 3\)
Giải : đặt \({A_n} = {n^3} - n\)
Bước 1: với n=1, ta có: \({A_1} = 0 \vdots 3\)
Bước 2: Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_k} = \left( {{k^3} - k} \right) \vdots 3\)(giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh :\({A_{k + 1}} \vdots 3\)
Thật vậy : ta có:
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {(k + 1)^3} - (k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\\ = ({k^3} - k) + 3 ({k^2} + k)\\ = {{\rm A}_\kappa } + 3 ({k^2} + k)\end{array}\)theo giả thiết quy nạp \({A_k} = \left( {{k^3} - k} \right) \vdots 3\), hơn nữa: \(3 ({k^2} + k) \vdots 3\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 3\)
Vậy \({A_n} = {n^3} - n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in N*\)
Chú ý :
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\)(p là một số tự nhiên) thì:
- Ởở bước 1, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=p.
- ở bước 2, ta giải thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì \(n = k \ge p\) và ta phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k +1
Ví dụ 3:
Cho hai số \({3^n}\) và \(8n\) với \(n \in N*\)
A, so sánh \({3^n}\) với \(8n\) khi n= 1, 2, 3, 4, 5.
B, Dự đoán kết quả tổng quát và chúng minh bằng phương pháp quy nạp .
Giải :
a. Sso sánh \({3^n}\) với \(8n\)
Khi n=1: 3 < 8
n=2: 9 < 16
n=3: 27 > 24
n=4: 81 > 32
n=5: \({3^5} > 40\)
b. Với \(n \ge 3\) thì \({3^n}\)>\(8n\).(3)
Chứng minh:
Bước 1: với \(n \ge 3\) thì (3) đúng
Bước 2:giả thiết mệnh đề đúng với \(n = k \ge 3\) nghĩa là : \({3^k} \ge 8k\) ta phải chứng minh mđ(3) đúng với \(n = k + 1\)tức là : \({3^{k + 1}} \ge 8(k + 1)\)
