Bài 1: Phép Biến Hình

Bài 1: Phép Biến Hình

 

Bài 1. Mở đầu về các phép biến hình

1. Phép biến hình

Trong Đại số, ta đã biết một khái niệm quan trọng: khái niệm “hàm số”.

Ta nhắc lại: Nếu có một quy tắc để với mỗi số x ∈ , xác định được một số duy nhất y ∈ thì quy tắc đó gọi là một hàm số xác định trên tập số thực .

Bây giờ, trong mệnh đề trên ta thay số thực bằng điểm thuộc mặt phẳng thì ta được khái niệm về phép biến hình trong mặt phẳng. Cụ thể là

Nếu có một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy thì quy tắc đó gọi là một phép biến hình (trong mặt phẳng).

Vậy ta có

ĐỊNH NGHĨA

Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗiđiểm M thuộc mặt phẳng,

xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm

M qua phép biến hình đó.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1

Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, ta xác định M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên d (h.1) thì ta được một phép biến hình.

Phép biến hình này gọi là phép chiếu (vuông góc) lên đường thẳng d.

Hình 1

Ví dụ 2

Cho vectơ , với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ theo quy tắc (h.2)

Hình 2

Như vậy ta cũng có một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép tịnh tiến theo vectơ  .

Ví dụ 3

Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất.

3. Kí hiệu và thuật ngữ

Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là và điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình thì ta viết M’ = F(M), hoặc F(M)= M’. Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’.

Với mỗi hình H, ta gọi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M∈H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H).

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi phép đồng nhất.