Bài 1 Giới hạn của dãy số

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Ghi bảng - trình chiếu

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số:

  Định nghĩa 1.

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu ½u_n½ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = 0\) hay u_n ® 0 khi n ® +¥

Như vậy, (u_n) có giới hạn là 0 khi n ® +¥ nếu u_n có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

Định nghĩa 2

 Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là số a (hay v_n dần tới a) khi n ® +¥, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({v_n} - a) = 0\)

 Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = a\) hay v_n ® a khi n ® +¥.

 Ví dụ 2: Cho dãy số (v_n) với

v_n = \(\frac{{2n + 1}}{n}\). Chứng minh rằng 

 Giải: Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({v_n} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{2n + 1}}{n} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\)

 Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2n + 1}}{n} = 2\)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a/ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k nguyên dương

b/ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {q^n} = 0\) nếu ½q½< 1

c/ Nếu u_n = c thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } c = c\)

 Chú ý: Từ nay về sau thay cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a\), ta viết tắt là \(\lim {u_n} = a\).

II.  Định lí về giới hạn hữu hạn.

Định lí.

 a/ nếu \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = b\) thì

  \[\]    \(\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\)

  \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)    \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) nếu b≠0

 b/  Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và \(\lim {u_n} = a\) thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \)

Ví dụ 5 (SGK):

Tính giới hạn sau:  \(\lim \frac{{5{n^2} - n + 2}}{{1 + 3{n^2}}}\)

Giải:

\(\lim \frac{{5{n^2} - n + 2}}{{1 + 3{n^2}}} = \lim \frac{{5 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} + 3}} = \frac{5}{3}\)

III.  Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 10’

·        Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với ½q½< 1 được gọi là CSN lùi vô hạn

·        Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q. Khi đó,

S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n = \({u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

    = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} - \left( {\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}} \right).{q^n}\)

 Vì ½q½< 1 nên \(\lim {q^n} = 0\). Từ đó ta có:

  limS_n = lim[\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} - \left( {\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}} \right).{q^n}\)] = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

 Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) và được ký hiệu là

 S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n +...

 Như vậy:    S = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)    (½q½< 1)

Ví dụ 6: 

a. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:  \(({u_n})\)với \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\)

b. Tính tổng:

\[S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} + ...\]

Giải:

a. Vì \[{u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\]nên \[{u_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}\] . Do đó:

\[S = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\]

b. Các số hạng của tổng lập thành một CSN lùi vô hạn với \[{u_1} = 1,q =  - \frac{1}{3}\]. Vậy:

\[S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} + ...\]

\[ = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}\].

IV.  Giới hạn vô cực.

1.      Định nghĩa

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn +¥ khi

n ® +¥, nếu u_n  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limu_n = +¥ hay u_n ® +¥ khi

n ® +¥

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn -¥ khi n ® +¥ nếu lim(-u_n) = +¥

Kí hiệu: limu_n = ¥ hay u_n ® -¥ khi

 n ® +¥

Nhận xét: limu_n = +¥ Û lim(-u_n) = - ¥

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a/ limn^k = + ¥ với k nguyên dương

b/ limqⁿ = + ¥ nếu q > 1

3. Định lí.

a/ Nếu .\(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} =  \pm \infty \).thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)

b/ Nếu \(\lim {u_n} = a > 0,{\rm{ }}\lim {v_n} = 0,{\rm{ }}{v_n} > 0\)với mọi n thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  + \infty \)

c/ Nếu\[\lim {u_n} =  + \infty ,\lim {v_n} = a,{\rm{a  >  0}}\]

   thì\(\lim {u_n}{v_n} =  + \infty \)

Ví dụ 8:

1) \(\lim \frac{{2n + 5}}{{n{{.3}^n}}} = \lim \frac{{2 + \frac{5}{n}}}{{{3^n}}} = 0\)

2) \(\lim \frac{{2{n^3} - n}}{{{n^2} + 3}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} =  + \infty \)

3)\[\lim ( - {n^4} + 2{n^3} - 1) = \lim \left[ { - {n^4}(1 - \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^4}}})} \right] =  - \infty \]